Gradi, percentuale e rapporto: come si convertono

Una pendenza, tre nomi

Una pendenza è solo quanto ripidamente una superficie si scosta dal piano. Sotto non c’è niente di complicato: scegli una distanza orizzontale, vedi di quanto la superficie sale su quella distanza, e hai descritto la ripidità. La confusione nasce dal fatto che tre settori diversi hanno adottato tre modi diversi di scrivere lo stesso numero.

I gradi misurano l’angolo direttamente, da 0° (perfettamente piano) a 90° (verticale). È l’unità che hai imparato in geometria e quella che un goniometro legge sulla carta.

La percentuale descrive la pendenza come dislivello diviso base, per 100. Cammina 100 metri in avanti salendo di 6 e sei su una pendenza del 6%.

Il rapporto — scritto spesso come X su 12 in carpenteria — dà il dislivello per una base fissa di 12. Un tetto che sale di 6 ogni 12 in orizzontale ha un rapporto di 6 su 12.

Tutti e tre indicano esattamente la stessa inclinazione. Rispondono solo alla stessa domanda con un metro diverso.

Gradi e percentuale

Il legame tra angolo e percentuale è la funzione tangente. La percentuale è dislivello su base, e la tangente di un angolo è anch’essa dislivello su base: sono la stessa grandezza, scalata per 100.

pendenza in % = tan(angolo) × 100

Qualche valore di riferimento lo rende concreto:

• A 45° il dislivello è uguale alla base, quindi tan(45°) = 1 e la pendenza è 100%.
• A 26,57° il dislivello è metà della base, quindi tan ≈ 0,5 e la pendenza è 50%.
• A 10°, tan ≈ 0,176, quindi la pendenza è circa 17,6% — non 10%.

Quest’ultimo punto inganna di continuo. Una pendenza di 10° non è una pendenza del 10%. Coincidono solo vicino allo zero, dove la curva è quasi retta; più l’angolo sale, più la percentuale corre avanti. A 45° sono distanti fino al 100%, e avvicinandosi alla verticale la percentuale tende all’infinito.

Per andare nel verso opposto, annulla la tangente con la sua inversa, l’arcotangente:

angolo = arctan(percentuale ÷ 100)

Così una pendenza del 30% è arctan(0,30) ≈ 16,7°, e il 100% è arctan(1) = 45°. Qualsiasi calcolatrice scientifica ha i tasti tan e arctan (spesso tan⁻¹) per entrambe le direzioni.

Il rapporto: la scorciatoia del carpentiere

La pendenza dei tetti si scrive come rapporto per come lavora un carpentiere. Una squadra da carpentiere ha un braccio da 12 pollici, quindi 12 diventa la base naturale su cui misurare. Un rapporto di 6 su 12 significa che il tetto sale di 6 ogni 12 di percorso orizzontale, e il carpentiere può tracciarlo direttamente sul legno senza toccare la trigonometria.

Per trovare l’angolo vale la stessa relazione con la tangente, con 12 come base:

angolo = arctan(dislivello ÷ 12)

Un rapporto di 6 su 12 è arctan(6 ÷ 12) = arctan(0,5) ≈ 26,57°, cioè — come noterai — lo stesso 50% della sezione precedente. Un 12 su 12 è arctan(1) = 45° = 100%. I tre sistemi convergono su pendenze identiche: cambia solo la notazione.

Una tabella delle pendenze comuni

Ecco i valori che incontrerai più spesso, allineati per leggere in orizzontale da un sistema all’altro:

Rapporto	Gradi	Percentuale
4 su 12	≈ 18,43°	≈ 33,3%
6 su 12	≈ 26,57°	50%
8 su 12	≈ 33,69°	≈ 66,7%
12 su 12	45°	100%

Leggere la tabella è già una lezione di conversione. Un tetto 12 su 12 — dislivello uguale alla base — è esattamente 45° ed esattamente 100%, il riferimento più pulito di tutto il sistema. Un 6 su 12 è metà dislivello per unità di base e arriva al 50%. E nota che la colonna delle percentuali non è proporzionale a quella dei gradi: raddoppiando il rapporto da 6 su 12 a 12 su 12 la percentuale raddoppia, ma l’angolo passa da 26,57° a 45°, non a 53°. È la curva della tangente all’opera.

Chi usa quale unità

Ogni unità si è affermata per una ragione pratica, e conoscere la convenzione evita di citare quella sbagliata:

• Carpentieri e tetti usano il rapporto. X su 12 si riporta direttamente sulla squadra e imposta i tagli dei puntoni senza calcoli.
• Ingegneria civile e segnaletica usano la percentuale. Un cartello «pendenza 7%» dice all’autista quanto è dura la discesa per unità di percorso, che è ciò che conta per frenare.
• Matematica, meccanica e disegno tecnico usano i gradi. Gli angoli si compongono in modo pulito, e ogni goniometro e ogni CAD li parla.
• Sentieri e norme di accessibilità mescolano percentuale e rapporto. Una rampa a norma, per esempio, è limitata all’8%, che equivale a circa 1 su 12,5 o 4,6°.

Il problema è che il tuo interlocutore potrebbe volere un’unità diversa da quella in cui hai misurato. È qui che il telefono aiuta: appoggialo sulla superficie, leggi la pendenza dai sensori di movimento e cambia unità tra gradi, percentuale e rapporto senza fare aritmetica. Per i tetti in particolare, un calcolo della pendenza del tetto dedicato prende dislivello e base e restituisce tutti e tre i valori insieme.

La morale è semplice: gradi, percentuale e rapporto sono tre dialetti di una sola idea. Impara la tangente che li lega e potrai passare dall’uno all’altro — o lasciare che sia lo strumento a farlo nell’istante in cui misuri.