Come trovare gli angoli di un triangolo

L’unica regola che risolve quasi tutti i casi

Il fatto più utile su qualsiasi triangolo è che i suoi tre angoli interni sommano sempre 180°. Schiacciato, allungato, sbilenco: non cambia nulla. La somma resta quella.

Questa sola regola risolve di colpo il problema più comune. Se conosci due angoli, il terzo è semplicemente ciò che avanza:

angolo mancante = 180° − (primo angolo + secondo angolo)

Quindi in un triangolo con angoli di 65° e 40°, il terzo è 180° − 105° = 75°. Rimettili insieme (65 + 40 + 75) e ottieni 180°: è la verifica più rapida.

La stessa regola ti si presenta anche travestita. Un triangolo rettangolo spende già 90° nel suo angolo retto, quindi gli altri due devono dividersi i 90° rimanenti — sono complementari. Conosci uno dei due e conosci immediatamente l’altro.

Quando conosci solo i lati: seno, coseno, tangente

Spesso non hai due angoli da sottrarre, ma lunghezze di lati. In un triangolo rettangolo è esattamente lì che la trigonometria si guadagna lo stipendio. I tre rapporti si leggono sempre rispetto all’angolo che stai cercando:

• seno = cateto opposto ÷ ipotenusa
• coseno = cateto adiacente ÷ ipotenusa
• tangente = cateto opposto ÷ cateto adiacente

Il cateto opposto sta di fronte al tuo angolo, l’ipotenusa è il lato lungo opposto all’angolo retto, e il cateto adiacente è quello che tocca il tuo angolo. Per tornare da un rapporto all’angolo si usano le funzioni inverse, scritte arcsin, arccos, arctan (sulla calcolatrice sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).

L’angolo che cerchi è quindi quello che corrisponde ai lati che conosci:

angolo = arctan(opposto ÷ adiacente) angolo = arcsin(opposto ÷ ipotenusa) angolo = arccos(adiacente ÷ ipotenusa)

Un esempio svolto

Poniamo che un triangolo rettangolo abbia un lato di lunghezza 3 opposto al tuo angolo e uno di lunghezza 4 adiacente. Conosci entrambi i cateti, quindi la tangente è la scelta naturale:

angolo = arctan(3 ÷ 4) = arctan(0,75) ≈ 36,87°

E subito la verifica: l’altro angolo non retto è 90° − 36,87° = 53,13°, e 36,87 + 53,13 + 90 riporta a 180°. (È il famoso triangolo 3-4-5, in cui l’ipotenusa vale esattamente 5.)

Una nota pratica: assicurati che la calcolatrice sia impostata in gradi (DEG) e non in radianti, altrimenti il risultato non assomiglierà per niente a quello che ti aspetti.

Triangoli qualsiasi: teorema dei seni e del coseno

Seno, coseno e tangente in quella forma funzionano solo in presenza di un angolo retto. Per un triangolo qualsiasi, senza angolo retto, subentrano due teoremi. Chiama i lati a, b, c e l’angolo opposto a ciascuno con la maiuscola corrispondente — A, B, C.

Il teorema del coseno trova un angolo quando conosci tutti e tre i lati:

cos C = (a² + b² − c²) ÷ (2ab) quindi C = arccos((a² + b² − c²) ÷ (2ab))

Per esempio, con a = 5, b = 6, c = 7: cos C = (25 + 36 − 49) ÷ (2 × 5 × 6) = 12 ÷ 60 = 0,2, quindi C = arccos(0,2) ≈ 78,46°.

Il teorema dei seni è la regola complementare, per quando conosci già un angolo e il lato che gli sta di fronte: sin A ÷ a = sin B ÷ b = sin C ÷ c. Riorganizzalo per ricavare un secondo angolo, poi usa la regola dei 180° per l’ultimo. Insieme, questi due teoremi coprono qualunque triangolo descrivibile con dei numeri, senza bisogno di angoli retti.

Oppure misuralo e basta

A volte non serve alcuna formula: serve il numero davanti agli occhi. Se puoi disegnare il triangolo, ne leggi gli angoli direttamente con un goniometro: il centro sul vertice, la base allineata a un lato, e leggi dove il secondo lato incrocia la scala. (Se gradi e vertici ti sembrano ancora nebulosi, il nostro articolo su che cos’è la misura di un angolo mette in fila il vocabolario.)

Niente goniometro a portata di mano? Un goniometro online gratuito fa lo stesso lavoro nel browser: metti dietro un’immagine del triangolo e trascina i bracci su due lati per leggere l’angolo tra loro. E per un triangolo che esiste come oggetto reale invece che come disegno — una capriata, una staffa, una rampa — puoi appoggiare un iPhone al bordo e lasciare che i sensori di movimento misurino l’angolo direttamente in gradi.

Calcolare e misurare non sono rivali. La somma degli angoli e la trigonometria ti dicono quanto un angolo dovrebbe valere in base ai numeri che hai; il goniometro ti dice quanto vale davvero sul foglio o nel mondo. Qualunque strada scegli, ora hai tre modi affidabili per trovare l’angolo di un triangolo.